週次 |
日期 |
單元主題 |
第1週 |
09/05 |
- 定義 σ 代數、生成 σ 代數、Borel σ 代數、積 σ 代數的概念。
- 定義測度並且討論其性質。
- 證明測度的 σ 可加性與測度的連續性等價。
- 定義單調類。 |
第1週 |
09/07 |
- 定義單調類、生成單調類。
- 敘述並證明單調類引理。
- 應用單調類引理而推得測度的唯一性。 |
第2週 |
09/12 |
- 定義可測函數及討論其性質。
- 定義非負簡單函數及其積分。
- 定義非負可測函數的積分。
- 敘述單調收斂定理及證明。 |
第2週 |
09/14 |
- 定義可積函數及 L^1 空間。
- 敘述並證明 Fatou 引理。
- 敘述並證明勒貝格控制收斂定理。 |
第3週 |
09/19 |
- 有參數積分對參數的規律性(連續性即可微分性)。
- 討論 Stieltjes 積分。
- 介紹 L^p 空間及三個不等式:赫爾德不等式、琴生不等式及閔可夫斯基不等式。
- 敘述並證明 L^p 空間為 Banach 空間。 |
第3週 |
09/21 |
- 討論 L^p 空間的稠密性。
- 定義絕對連續測度及奇異測度。
- 敘述並證明 Radon-Nikodym 定理。 |
第4週 |
09/26 |
- 構造積測度。
- 敘述富比尼定理。
- 敘述並證明捲積的性質。
- 定義狄拉克測度逼近的概念。
- 敘述並證明狄拉克測度逼近的性質。
- 給出變數變換的公式。 |
第5週 |
10/03 |
- 定義機率空間、事件及隨機變數的概念,討論範例。
- 定義影像測度及隨機變數分佈的概念。
- 定義期望值、利用期望值來刻劃隨機變數的分佈。
- 討論邊緣分佈的概念。 |
第5週 |
10/05 |
- 描述一般隨機變數、離散隨機變數、實數絕對連續隨機變數的方式。
- 隨機變數生成的 σ 代數、範例。
- 敘述及證明所有 σ(X) 可測的隨機變數皆為 X 的函數。 |
第6週 |
10/12 |
- 定義動差、變異數、共變異數、共變異數矩陣的概念。
- 變異數滿足最佳化問題的解。
- 馬可夫不等式、柴比雪夫不等式。
- 線性回歸。 |
第7週 |
10/17 |
- 特徵函數的定義、性質。
- 證明特徵函數可以唯一描述機率分佈。
- 特徵函數在原點附近的泰勒展開。
- 生成函數的定義、性質。
- 尾端機率。 |
第7週 |
10/19 |
- 獨立事件的定義、等價性質。
- 獨立 σ 代數、獨立隨機變數的定義及性質。 |
第8週 |
10/24 |
- 獨立隨機變數等價性質敘述及證明。
- Kolmogorov 拓延定理。
- 簡單檢查有密度的隨機變數、σ 代數是否獨立的方式(命題 3.1.17 及命題 3.1.19)。
- 無窮多個獨立 σ 代數、無窮多個獨立隨機變數的定義。 |
第8週 |
10/26 |
- Borel-Cantelli 定理敘述、證明及應用。 |
第9週 |
10/31 |
- 獨立隨機變數和的性質及計算。
- L^2 大數法則敘述及證明。
- 在 L^4 假設下的 a.s. 大數法則敘述及證明。
- 多元常態分佈的等價定義及性質。 |
第9週 |
11/02 |
- 多元常態分佈密度函數的計算。
- 定義 càdlàg 函數。
- 帕松過程的定義及基本性質。 |
第10週 |
11/07 |
期中考停課。 |
第10週 |
11/09 |
- 證明帕松過程的 càdlàg 性質。
- 證明帕松過程有獨立的增量並且計算帕松過程任意時間差的分佈。 |
第11週 |
11/14 |
- 機率收斂的定義。
- 證明機率收斂可以賦距化。
- 討論機率收斂與 a.s. 收斂及 L^p 收斂的關係。
- 全有全無律的敘述及證明。
- 證明對稱簡單隨機漫步 a.s. 會有 sup = +∞ 及 inf = -∞ 的性質。 |
第11週 |
11/16 |
- 證明在 L^1 假設下的強大數定理。 |
第12週 |
11/21 |
- 機率測度弱收斂的定義。
- 隨機變數分佈收斂的定義、範例及等價性質(Portmanteau 定理)。
- 機率收斂蘊含分佈收斂,敘述及證明。 |
第12週 |
11/23 |
- 測度淡收斂的定義。
- 討論何時淡收斂會與弱收斂等價。
- 敘述並證明 Lévy 連續定理。 |
第13週 |
11/28 |
- 經驗測度的分佈收斂。
- 一維度中央極限定理敘述及證明。
- 高維度中央極限定理敘述及證明。 |
第13週 |
11/30 |
- 定義 L^1 隨機變數的條件期望值。
- 討論 L^1 情況下的特徵性質。 |
第14週 |
12/05 |
- L^1 隨機變數條件期望值的性質,推廣期望值的性質。
- 定義非負隨機變數的條件期望值及討論此情況下的特徵性質。
- 討論條件期望值的收斂定理及不等式。
- 討論 L^2 隨機變數的條件期望值。 |
第14週 |
12/07 |
- 特殊情況下條件期望值的計算。
- 獨立 σ 代數與條件期望值的關聯。 |
第15週 |
12/12 |
期末考口試。 |
第15週 |
12/14 |
期末考口試。 |